质心

简介

质心可以理解为一个物体质量分布的"平均位置" . 通常用位置向量的平均 $\bar{\mathbf{r}}$ 来表示

• 对于形状规则, 密度均匀的物体, 质心通常位于物体的几何中心.
• 对于形状不规则或密度不均匀的物体, 如果我们提前知道了形状或密度关于位置的函数关系 $\rho$ , 质心的计算可以通过重积分来完成.

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定义

离散

理解质心最简单的方法, 是先从有限个质点组成的离散系统开始, 再推广到连续物体.
假设有 $n$ 个质点, 为点从1到$n$编号, 第 $i$ 个质量为 $m_i$, 位置向量为 $\mathbf{r}_i$,
总质量:

$$M = \sum_{i=1}^n m_i$$

质心按质量加权计算:

$$\bar{\mathbf{r}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i$$

在一维情形退化为 $\bar{x} = \frac{1}{M} \sum m_i x_i$.

连续

对于体积为 $V$, 密度函数为 $\rho(\mathbf{r})$ 的连续物体, 总质量 $M$ 为:

$$M = \iiint_V \rho(\mathbf{r}) \, dV$$

质心位置矢量为:

$$\bar{\mathbf{r}} = \frac{1}{M} \iiint_V \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) \, dV$$

在直角坐标系下, 三个分量可分别表示为:

$$\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_V x \rho \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_V y \rho \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_V z \rho \, dV$$

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示例

计算半径为 $R$、密度为常数 $\rho_0$ 的均匀上半球体（$z \ge 0$）的质心。

由 $x, y$ 轴方向的轴对称性可知：$\bar{x} = \bar{y} = 0$。只需要计算 $\bar{z}$。
选用球坐标系 $(r, \theta, \phi)$，其中 $z = r\cos\theta$。积分范围为：

• $0 \le r \le R$
• $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$
• $0 \le \phi \le 2\pi$

总质量M:

$$M = \rho_0 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \rho_0 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3$$

质心: 由对称性 $\bar{x} = \bar{y} = 0$. 对 $z$ 分量:

$$\bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_V z \rho_0 \, dV = \frac{\rho_0}{M} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^R (r\cos\theta) \, r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \frac{3R}{8}$$

则质心为 $(0,0, \frac{3R}{8})$.