三重积分用于计算在三维空间区域上的函数的积分。假设我们有一个函数$f(x, y, z)$，并且我们希望在区域$E$上对该函数进行积分。三重积分的表示形式如下：

$$\iiint_E f(x, y, z) \, dV$$

其中$dV$是区域$E$上的一个微小体积元。计算三重积分的步骤如下：

1. 定义区域$E$：确定积分的区域，可以是一般的闭合区域，也可以是简单区域。
2. 选择积分次序：选择先对哪个变量进行积分。
3. 计算内层积分：对其中一个变量积分，保持另两个变量不变。
4. 计算中间层积分：将内层积分的结果对另一个变量积分。
5. 计算外层积分：将中间层积分的结果对最后一个变量积分。

例如，对矩形体区域$[a, b] \times [c, d] \times [e, f]$上的函数$f(x, y, z)$的三重积分可以写成：

$$\iiint_{[a, b] \times [c, d] \times [e, f]} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \int_a^b \left( \int_c^d \left( \int_e^f f(x, y, z) \, dz \right) dy \right) dx$$

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直角坐标

积分构成

$$V = \int_0^{h(x, y)}\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \int_a^b f(x, y, z) \, dx\, dy\, dz$$

x先以定值从区间$[a,b]$平扫y区域积分,形成两个边界 $y=\phi_{1}(x)$ $y=\phi_{2}(x)$ 根据边界相减得到底面$D$. 底面$D$实际上是形状被x,y决定的区域, 这个区域的形状仅取决于z. 底面$D$再沿$y$轴进行积分, 得到"体积" . "体积" $V$ 再沿$z$轴进行积分, 得到

积分解耦

$$V = \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \int_0^{h(x, y)} f(x, y, z) \, dz \, dy \, dx$$

1. 找到三维坐标中 z的边界曲面和边界函数 $z=z(x,y)=\int_0^{h(x, y)} f(x, y, z) \, dz$
2. 找到二维坐标中 y的边界曲线 $y=\phi_{1}(x)$ $y=\phi_{2}(x)$
3. $\int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}}z(x,y)dy$ 即为解耦后的$y(x)$

$$V=\iint_{D} zd\sigma = \int_a^b dx \left(\int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}}z(x,y)dy\right)$$

例子

假设有一个函数$f(x, y, z) = 1$，积分区域为$x$从$a$到$b$，$y$的范围是$[y_1(x), y_2(x)]$，$z$的范围是$[0, h(x, y)]$，则体积积分表示为：

$$V = \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \int_0^{h(x, y)} 1 \, dz \, dy \, dx$$

计算顺序

1. 计算旋转切面的面积，直接利用圆的面积定义
2. 计算切面沿旋转轴的累积

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柱面坐标

适合计算旋转柱体 将$x$, $y$映射为$r$, $\theta$, 其中$r$是雅可比行列式的结果

$$dxdy=r dr d\theta$$

而$z$的形式不变,

$$dv=dzr dr d\theta$$

计算顺序

1. 计算旋转扇形面积, $dr$ $dz$
2. 计算扇形绕轴旋转，$d\theta$

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球面坐标

$$\begin{cases} x&=r\sin(\phi)\cos(\theta)\\ y&=r\sin(\phi)\sin(\theta)\\ z&=r\cos(\phi) \end{cases}$$

$$dv=r^2\sin(\phi)drd\phi d\theta$$