三重积分

三重积分用于计算在三维空间区域上的函数的积分。假设我们有一个函数$f(x, y, z)$，并且我们希望在区域$E$上对该函数进行积分。三重积分的表示形式如下：

$$\iiint_E f(x, y, z) \, dV$$

其中$dV$是区域$E$上的一个微小体积元。计算三重积分的步骤如下：

1. 定义区域$E$：确定积分的区域，可以是一般的闭合区域，也可以是简单区域。
2. 选择积分次序：选择先对哪个变量进行积分。
3. 计算内层积分：对其中一个变量积分，保持另两个变量不变。
4. 计算中间层积分：将内层积分的结果对另一个变量积分。
5. 计算外层积分：将中间层积分的结果对最后一个变量积分。

例如，对矩形体区域$[a, b] \times [c, d] \times [e, f]$上的函数$f(x, y, z)$的三重积分可以写成：

$$\iiint_{[a, b] \times [c, d] \times [e, f]} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \int_a^b \left( \int_c^d \left( \int_e^f f(x, y, z) \, dz \right) dy \right) dx$$

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直角坐标

积分区域与次序

设

$$E=\{(x,y,z):a\le x\le b,\ y_1(x)\le y\le y_2(x),\ 0\le z\le h(x,y)\},$$

其中 $y_1\le y_2$、$h\ge0$。若 $f$ 在 $E$ 上连续（更一般地，满足相应可积条件），则

$$I=\iiint_E f\,dV=\int_a^b\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\int_0^{h(x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

先固定 $x,y$ 沿 $z$ 积分，再固定 $x$ 沿 $y$ 积分，最后沿 $x$ 积分。外层积分限不能依赖尚未固定的内层变量；交换次序时必须重新描述区域。

逐次积分

令 $g(x,y)=\int_0^{h(x,y)}f(x,y,z)\,dz$，则

$$I=\iint_Dg(x,y)\,dx\,dy,\qquad D=\{(x,y):a\le x\le b,\ y_1(x)\le y\le y_2(x)\}.$$

这里 $g$ 是沿竖直线段累积得到的函数，不是原区域的边界曲面。取 $f\equiv1$ 时，$g=h$，积分 $I$ 直接表示体积；一般被积函数也可描述密度或其他分布量。

例子

假设有一个函数$f(x, y, z) = 1$，积分区域为$x$从$a$到$b$，$y$的范围是$[y_1(x), y_2(x)]$，$z$的范围是$[0, h(x, y)]$，则体积积分表示为：

$$V = \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \int_0^{h(x, y)} 1 \, dz \, dy \, dx$$

截面法

当 $f=1$ 且垂直于某坐标轴的截面面积 $A(t)$ 易求时，体积为 $V=\int A(t)\,dt$。只有圆形截面才能直接使用圆面积公式。

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柱面坐标

柱面坐标适合具有轴对称结构的区域。变换为

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,$$

其中 $r\ge0$，$\theta$ 取长度不超过 $2\pi$ 的角区间以避免重复覆盖。雅可比绝对值为 $r$，故

$$dV=r\,dr\,d\theta\,dz.$$

这里 $r$ 是到 $z$ 轴的距离；它同时恰好等于该变换的雅可比绝对值。积分次序由区域边界决定，不能固定为一套步骤。

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球面坐标

球面坐标中 $r\ge0$ 是到原点的距离，$0\le\phi\le\pi$ 为与正 $z$ 轴的夹角，$\theta$ 为方位角；全角范围可取 $0\le\theta<2\pi$。

$$\begin{cases} x&=r\sin(\phi)\cos(\theta)\\ y&=r\sin(\phi)\sin(\theta)\\ z&=r\cos(\phi) \end{cases}$$

$$dv=r^2\sin(\phi)drd\phi d\theta$$