表面积微元

面积元素 $dS = R^2 \sin \phi \, d\theta \, d\phi$ 是球体表面在球坐标系中的面积元素。这个公式是从球坐标的参数化和表面积公式中得出的。具体的推导步骤如下：

推导

在球坐标系中，一个点的位置由三个坐标 $r, \theta, \phi$ 描述，其中：

• $r$ 是原点到点的直线距离。
• $\theta$ 是从正 $x$ 轴到点的投影在 $xy$ 平面的角度。
• $\phi$ 是从正 $z$ 轴到该点的角度。

球体表面的参数化可以写为：

$$\mathbf{r}(\theta, \phi) = (r \sin \phi \cos \theta, r \sin \phi \sin \theta, r \cos \phi)$$

其中 $r$ 是常数，表示球体的半径。

计算 $\mathbf{r}$ 对 $\theta$ 和 $\phi$ 的偏导数：

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r \sin \phi \sin \theta, r \sin \phi \cos \theta, 0)$$

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = (r \cos \phi \cos \theta, r \cos \phi \sin \theta, -r \sin \phi)$$

这两个向量的叉积给出了法向量的大小，它与表面元素的面积成正比：

$$\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \right| = r^2 \sin \phi$$

因此，面积元素 $dS$ 为：

$$dS = \left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \right| d\theta d\phi = r^2 \sin \phi \, d\theta \, d\phi$$