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引力描述两质量之间的相互作用力。

1. 牛顿万有引力定律

两点质量m1m_1和m2m_2间的引力大小为：

F=Gm1m2r2 F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

其中GG是万有引力常数，rr是两点间的距离。

2. 引力场

质量mm在空间中产生引力场，其场强g\mathbf{g}在距离rr处为：

g=−Gmr2r^ \mathbf{g} = -G\frac{m}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

其中r^\hat{\mathbf{r}}是从质量指向场点的单位向量。

3. 引力势

引力势能UU表示质量在引力场中的势能，定义为：

U=−Gm1m2r U = -G\frac{m_1 m_2}{r}

引力势Φ\Phi在距离rr处为：

Φ=−Gmr \Phi = -G\frac{m}{r}

4. 引力作用于连续质量分布

对连续质量分布ρ(r)\rho(\mathbf{r})，引力场由体积分给出：

g(r)=−G∭Vρ(r′)(r−r′)∣r−r′∣3 dV′ \mathbf{g}(\mathbf{r}) = -G \iiint_V \frac{\rho(\mathbf{r}') (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, dV'

5. 质量中心的引力

质量分布的总引力可以通过集中于质心的质量来计算：

F=GM1M2r2 \mathbf{F} = G \frac{M_1 M_2}{r^2}

其中M1M_1、M2M_2分别为两质量中心的总质量。

示例

球形对称质量分布产生的引力场在外部表现为集中于球心的点质量场，场强为：

g=−GMr2r^ \mathbf{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

内部场强随rr线性增加：

g=−GMrR3r^,r≤R \mathbf{g} = -G\frac{Mr}{R^3}\hat{\mathbf{r}}, \quad r \leq R

这里RR为球的半径。