置信区间与假设检验之间的关系

区间估计与假设检验的对偶性来自同一组拒绝域的反演，不是任意两种同水平方法的自动等价。

对偶原理

对每个 $\theta_0$，设检验 $H_0:\theta=\theta_0$ 的不拒绝域为 $A(\theta_0)$，满足 $P_{\theta_0}\{X\in A(\theta_0)\}\ge1-\alpha$。定义

$$C(X)=\{\theta_0:X\in A(\theta_0)\}.$$

于是 $P_\theta\{\theta\in C(X)\}\ge1-\alpha$，且 $\theta_0\in C(x)$ 当且仅当相配的检验不拒绝 $\theta_0$。若检验恰有第一类错误概率 $\alpha$，覆盖率才恰为 $1-\alpha$。离散问题常保守；反演结果也未必是单一区间。

直观理解

对一系列假定参数值分别做检验，把数据未拒绝的值收集起来，就是相配的置信集。不拒绝不等于证明参数等于该值；频率学派的 置信区间 覆盖率描述重复抽样程序，不是观察数据后参数的后验概率。

单侧情形

在均值等具有相应单调性的常见参数模型中，配对关系为：

置信界	检验方向	拒绝条件
下限 $[L(X),\infty)$	$H_0:\theta\le\theta_0$ 对 $H_1:\theta>\theta_0$	$L(X)>\theta_0$
上限 $(-\infty,U(X)]$	$H_0:\theta\ge\theta_0$ 对 $H_1:\theta<\theta_0$	$U(X)<\theta_0$

端点是否包含应与拒绝规则一致；连续模型的端点概率为零时不影响覆盖率。具体正态均值公式见 单侧置信区间。

应用意义

区间的位置反映效应取值的范围，宽度主要反映估计的不确定性。多重比较若要控制整体第一类错误，需要与多重检验相匹配的同时置信区间；不能把多个普通 95% 区间当作整体 95% 的保证。