置信区间

置信区间是由样本决定的随机区间 $[L(X),U(X)]$，是区间估计的结果。置信水平 $1-\alpha$ 表示区间构造方法的覆盖率：

$$P_\theta\{L(X)\le\theta\le U(X)\}=1-\alpha.$$

精确等式可能无法达到，例如离散模型常要求覆盖率至少为 $1-\alpha$；渐近区间则只在极限中达到目标覆盖率。

在频率学派解释下，参数 $\theta$ 固定，重复抽样会产生不同区间。95% 覆盖率表示按同一方法反复构造的区间约有 95% 包含真值；得到具体区间后，不能据此说固定参数有 95% 的概率落在这个已固定的区间内。

构建置信区间的步骤

1. 选择置信水平：确定置信水平 $1-\alpha$（如 95% 或 99%）。
2. 计算点估计：使用样本数据计算参数的点估计值。
3. 确定标准误：计算点估计的标准误，即估计值的标准偏差。
4. 找到临界值：根据选择的置信水平，从标准正态分布或 t 分布表中找到相应的临界值。
5. 构建区间：利用点估计、标准误和临界值构建置信区间。