t检验

t检验是一种用于比较样本均值和已知总体均值或两个样本均值之间差异的统计方法，正态独立样本、总体标准差未知时可得到精确单样本 t 检验；非正态或有依赖的数据需另行判断近似条件，不能只按 $n<30$ 选方法。

Tip

t检验是对称的, 双边检测可以采用对称的 $\alpha/2$ 划分置信区间

t检验的类型

1. 单样本t检验：用于检验一个样本的均值是否等于已知总体均值（正态总体均值的假设检验）。
2. 独立样本t检验：用于检验两个独立样本的均值是否有显著差异。
3. 配对样本t检验：用于检验同一组样本在不同条件下的均值是否有显著差异。

---

单样本t检验

设定假设

• 零假设（H₀）：总体均值 $\mu=\mu_0$。
• 备择假设（H₁）：总体均值 $\mu\ne\mu_0$。

选择显著性水平

通常设定为0.05或0.01。

计算t值

假设样本独立来自正态总体，$n\ge2$。在 $H_0$ 下，统计量 $T\sim t(n-1)$，其观测值为

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{X}$ 是样本均值。
• $\mu_0$ 是零假设指定的总体均值。
• $s$ 是样本标准差。
• $n$ 是样本量。

查找临界值

采用上尾约定 $P(T_\nu>t_{\alpha,\nu})=\alpha$。双侧检验查 $t_{\alpha/2,n-1}$

比较t值与临界值

• 如果 $|t| \leq t_{\alpha/2,n-1}$，则不拒绝零假设（H₀）。
• 如果 $|t| > t_{\alpha/2,n-1}$，则拒绝零假设（H₀）。

---

独立样本t检验

步骤1：设定假设

• 零假设（H₀）：两个总体的均值 $\mu_1=\mu_2$。
• 备择假设（H₁）：两个总体的均值 $\mu_1\ne\mu_2$。

步骤2：选择显著性水平（α）

通常设定为0.05或0.01。

步骤3：计算t值

$$t = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$$

其中：

• $\bar{X_1}$ 和 $\bar{X_2}$ 分别是两个样本的均值。
• $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 分别是两个样本的方差。
• $n_1$ 和 $n_2$ 分别是两个样本的样本量。

步骤4：查找临界值

上述为 Welch 统计量：两组内部独立、组间独立，且各 $n_i\ge2$。正态总体下若不假设等方差，其 t 参考分布也是近似的，采用 Welch–Satterthwaite 自由度

$$\nu\approx\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{(s_1^2/n_1)^2/(n_1-1)+(s_2^2/n_2)^2/(n_2-1)}.$$

双侧检验查上尾临界值 $t_{\alpha/2,\nu}$。若另假设两正态总体等方差，才可改用合并方差 $s_p^2=[(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2]/(n_1+n_2-2)$，分母为 $s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}$，并采用精确自由度 $n_1+n_2-2$。

步骤5：比较t值与临界值

• 如果 $|t| \leq \text{临界值}$，则不拒绝零假设（H₀）。
• 如果 $|t| > \text{临界值}$，则拒绝零假设（H₀）。

---

配对样本t检验

要求不同配对间独立；精确检验假设配对差值 $D_i$ 同分布于正态总体，且 $n\ge2$。同一对内两个观测可以相关。

步骤1：设定假设

• 零假设（H₀）：配对样本的均值差为零。
• 备择假设（H₁）：配对样本的均值差不为零。

步骤2：选择显著性水平（α）

通常设定为0.05或0.01。

步骤3：计算t值

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{d}$ 是差值的均值。
• $s_d$ 是差值的标准差。
• $n$ 是配对样本的数量。

步骤4：查找临界值

根据自由度 $df=n-1$，双侧检验查上尾临界值 $t_{\alpha/2,n-1}$。

步骤5：比较t值与临界值

• 如果 $|t| \leq \text{临界值}$，则不拒绝零假设（H₀）。
• 如果 $|t| > \text{临界值}$，则拒绝零假设（H₀）。

---

图例

t检验的双边假设

file-udxeUcFDMIFzlZhrDskJeizD.webp

t检验的单边假设
file-1MW7XOlXR0Aol1SfQvMwivRL.webp