柯西中值定理

两个函数在同一个区间上的整体平均变化率，必定等于区间内某点处它们瞬时变化率之比（拉格朗日中值定理的推广）。

如果函数$f(x)$及$g(x)$满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续
2. 在开区间$(a,b)$内可微
3. 对任意$x \in(a,b),g^{\prime}(x) \neq 0$
   那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi(a< \xi <b)$,使等式

$$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$$

成立

分母条件与证明

这里取 $a<b$。条件 $g'\ne0$ 还保证 $g(a)\ne g(b)$，否则罗尔定理会给出某点 $g'=0$。

更一般地，只要 $f,g$ 在闭区间连续、开区间可导，就有不需要除法的形式：

$$[g(b)-g(a)]f'(\xi)=[f(b)-f(a)]g'(\xi).$$

令 $h(t)=[g(b)-g(a)](f(t)-f(a))-[f(b)-f(a)](g(t)-g(a))$，则 $h(a)=h(b)=0$，对 $h$ 应用罗尔定理即得结论。加上 $g'\ne0$ 后才能安全地写成上面的比值形式。