拉格朗日中值定理

在某些条件下，函数在某个区间内的平均变化率等于在该区间内某一点的瞬时变化率。

设函数 $f(x)$ 满足:

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 可导
   则至少存在一个点 $c$, 使得：

$$f ^ { \prime } ( c ) = \frac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }$$

其中 $c$ 满足 $a \lt c \lt b$

拉格朗日中值定理表明在某个区间内，函数在某一点的导数等于函数在该区间两端点连线的斜率。在这个区间内，总存在一点的瞬时变化率等于平均变化率。

拉格朗日中值定理可推广为柯西中值定理

证明与用途

设 $a<b$，令 $h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，则 $h(a)=h(b)$。对 $h$ 使用罗尔定理，得到某个 $c\in(a,b)$ 满足 $h'(c)=0$，即所需公式。

特别地，若 $f'=0$ 在一个区间内恒成立，则任取两点应用本定理可知函数值相同。这说明“导数相同的两个原函数只差常数”的依据，见积分上限的函数及其导数。