凹凸性

凹凸性描述了函数的图像是向上弯曲（凹）还是向下弯曲（凸）。

定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导。
如果 $f''(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹的(Concave up)
如果 $f''(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸的(Concave down)

拐点

示例

分析函数$f(x) = x^3$的凹凸性并找出拐点。

1. 求二阶导数：
   • $f'(x) = 3x^2$
   • $f''(x) = 6x$
2. 判断二阶导数符号：
   • 当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$，函数图像是凸的。
   • 当 $x < 0$ 时，$f''(x) < 0$，函数图像是凹的。
3. 寻找拐点：
   • 令 $f''(x) = 6x = 0$，解得 $x=0$。
   • 在 $x=0$ 的左侧，$f''(x) < 0$；在右侧，$f''(x) > 0$。符号发生改变。
4. 结论：
   • 函数在 $(-\infty, 0)$ 上是凹的，在 $(0, \infty)$ 上是凸的。
   • 点 $(0, f(0)) = (0, 0)$ 是该函数的拐点。