凹凸性

凹凸性描述图像相对于弦的位置。本页采用凸分析约定：向上弯曲称凸（convex），向下弯曲称凹（concave）。一些初等教材把 concave up 译作“凹”，名称相反；比较材料时应以不等式为准。

定义

对区间 $I$，凸函数的定义是 $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$（$x,y\in I,0\le t\le1$）；凹函数反向。若二阶可导，则 $f''\ge0$ 等价于凸，$f''\le0$ 等价于凹。
如果 $f''(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是严格凸的（向上弯曲）
如果 $f''(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是严格凹的（向下弯曲）

拐点

示例

分析函数$f(x) = x^3$的凹凸性并找出拐点。

1. 求二阶导数：
   • $f'(x) = 3x^2$
   • $f''(x) = 6x$
2. 判断二阶导数符号：
   • 当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$，函数图像是凸的。
   • 当 $x < 0$ 时，$f''(x) < 0$，函数图像是凹的。
3. 寻找拐点：
   • 令 $f''(x) = 6x = 0$，解得 $x=0$。
   • 在 $x=0$ 的左侧，$f''(x) < 0$；在右侧，$f''(x) > 0$。符号发生改变。
4. 结论：
   • 函数在 $(-\infty,0)$ 上是凹的，在 $(0,\infty)$ 上是凸的。
   • 点 $(0, f(0)) = (0, 0)$ 是该函数的拐点。