定义

y的n阶导数记作

$$y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n}$$

需要保证在x点n阶可导

常见无穷阶导数

$$\left[e^x\right]^{(n)}=e^x$$

$$\left[sin(x)\right]^{(n)}=sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$$

\left[cos(x)\right]^{(n)}=cos(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$$$$\left[ln(1+x)\right]^{(n)}=(-1)^{n-1}\cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\,(n=1时成立)

$$\left[x^a \right]^{(n)}=\frac{a!}{(a-n)!}\cdot x^{a-n}$$

性质

加法封闭性

加法封闭性

$$(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$$

莱布尼兹公式

$$(u\cdot v)^{(n)}=\displaystyle \sum^{n}_{k=0} C^k_n \cdot u^{(n-k)}\pm v^{(k)}$$

$n=1$ 时: $(u\cdot v)^{(1)}=u'v+uv'$$n=2$ 时: $(u\cdot v)^{(2)}=u''v+2u'v'+uv''$$n=3$ 时: $(u\cdot v)^{(3)}=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv'''$