隐函数

形如 $y=f(x)$ 的函数对应关系, 如果能够写出则为显函数, 写不出来或未写成y的表达式的则为隐函数.

有的隐函数可以通过基本代数运算化为显函数, 有的不能通过基本代数运算化为显函数, 或者很困难.

我们希望有一种方法 不论隐函数能否显化都能由方程$F(x,y)=0$求出它所确定的隐函数$y=f(x)$的导数, 方法如下:

等式两端对$x$求导数, 得到$dy$, $dx$ 的关系式$F_1(x,y,dx,dy)=0$, 利用基本代数变换得到$\frac{dy}{dx}=F_2(x,y)=y'$

在某些场合, 利用对数求导法通常要简单一些, 先对$y=f(x)^{g(x)}$两边取对数, 得到$\ln(y)=g(x)\cdot \ln f(x)$, 再作为隐函数求导, 如$y=x^{sin(x)}$, $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$