多项式函数 $f(x) = x^m$

$$f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n}$$

当 $n > m$ 时，$f^{(n)}(x) = 0$。

指数函数 $f(x) = e^{ax}$

$$f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}$$

正弦函数 $f(x) = \sin(ax)$

$$f^{(n)}(x) = a^n \sin\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right)$$

余弦函数 $f(x) = \cos(ax)$

$$f^{(n)}(x) = a^n \cos\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right)$$

对数函数 $f(x) = \ln(x)$

$$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}$$

幂函数 $f(x) = x^k$

$$f^{(n)}(x) = \frac{k!}{(k-n)!} x^{k-n}$$

当 $n > k$ 时，$f^{(n)}(x) = 0$。

双曲正弦函数 $f(x) = \sinh(ax)$

$$f^{(n)}(x) = a^n \sinh(ax)$$

双曲余弦函数 $f(x) = \cosh(ax)$

$$f^{(n)}(x) = a^n \cosh(ax)$$