参数方程求导

参数方程确定的函数

与隐函数求导类似, 实质是对中间变量 $t$ 的隐函数求导数, 如:

$$\begin{cases} {x=\phi(t)}\\ {y=\psi(t)} \end{cases}$$

则参数方程确定的函数$y=f(x)$的导数如下

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi\prime(t)}{\phi\prime(t)}$$

例题

已知摆线的参数方程为

$$\begin{cases} x = a(t - \sin t),\\ y = a(1 - \cos t), \end{cases} \quad (a>0,\ t\in\mathbb R)$$

求该曲线在 $t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的切线斜率。

解答过程

第一步：分别对 $t$ 求导

$$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t),\qquad \frac{dy}{dt} = a\sin t.$$

第二步：由参数方程求导公式

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a\sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{\sin t}{1-\cos t}.$$

第三步：计算 $t=\frac{\pi}{2}$ 时的斜率

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin(\pi/2)}{1-\cos(\pi/2)} = \frac{1}{1-0} = 1.$$