对数

对数是指数函数的逆运算：已知底数与结果求指数。它把乘法化为加法、幂化为乘法，是求解指数方程与压缩巨大数值尺度的核心工具。

需先掌握指数函数（$a^x$ 的运算律）与逆映射（对数是指数函数的反函数）。

定义

设 $a>0,\ a\neq 1$，若

$$a^x=N\qquad(N>0)$$

则称 $x$ 为以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=\log_a N$。当 $a=10$ 记 $\lg N$，当 $a=e$ 记 $\ln N$。

性质

• $\log_a 1=0$，$\log_a a=1$
• 积：$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$
• 商：$\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$
• 幂：$\log_a M^n=n\log_a M$
• 换底：$\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$（见换底公式）
• 恒等式：$a^{\log_a N}=N$

示例

• $\log_2 8=3$（因 $2^3=8$）
• $\log_2(4\cdot 8)=\log_2 4+\log_2 8=2+3=5$
• $\lg 1000=3$

应用

• 解指数方程：$a^x=N\Rightarrow x=\log_a N$
• 尺度压缩：震级、pH、分贝、星等
• 算法分析：二分查找等对数复杂度
• 与指数函数、换底公式配合，构成指对运算体系