反函数求导法则

定理

设 $f$ 在区间 $I$ 上可导且严格单调，$y_0\in I$ 且 $f'(y_0)\ne 0$。设

$$x_0=f(y_0),\quad g=f^{-1},\quad J=f(I).$$

若在 $J$ 的某一邻域内逆映射成立（即 $g$ 在该邻域可定义），则

$$g'(x_0)=\frac{1}{f'(y_0)}=\frac{1}{f'(g(x_0))}$$

这是因为

$$g'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =\lim_{y\to y_0}\frac{y-y_0}{f(y)-f(y_0)} =\frac{1}{f'(y_0)}.$$

若 $x_0$ 为 $J$ 的端点，通常只定义相应的单侧导数：

$$g'_{\pm}(x_0)=\lim_{x\to x_0^{\pm}}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =\frac{1}{f'_{\pm}(y_0)}.$$

这要求 $f$ 在对应方向上可导且导数不为 $0$，并且 $g(x_0)$ 与该方向对应到 $I$ 的端点一侧。

推论：反函数族的端点与主值分支

反三角函数

设 $\arcsin x$ 为 $\sin x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数。其定义域为 $[-1,1]$，值域为 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，在 $(-1,1)$ 有

$$\big(\arcsin x\big)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

端点 $\pm1$ 时 $\cos(y)=0$，故两侧导数不有限。

设 $\arccos x$ 为 $\cos x$ 在 $[0,\pi]$ 上的反函数，值域含端点但在 $x\in(-1,1)$ 有

$$\big(\arccos x\big)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

设 $\arctan x,\operatorname{arccot} x$ 分别对应 $\tan,\cot$ 的主值区间 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$、$(0,\pi)$，则

$$\big(\arctan x\big)'=\frac{1}{1+x^2},\qquad \big(\operatorname{arccot} x\big)'=-\frac{1}{1+x^2},$$

均在 $\mathbb R$ 上成立。

设 $\operatorname{arcsec} x$、$\operatorname{arccsc} x$ 取

$$\operatorname{arcsec}x=\arccos\frac1x,\quad \operatorname{arccsc}x=\arcsin\frac1x,$$

并取 $\operatorname{arcsec}$ 的主值 $[0,\pi]\setminus\{\pi/2\}$、$\operatorname{arccsc}$ 的主值 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\setminus\{0\}$，则

$$\big(\operatorname{arcsec}x\big)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},\quad \big(\operatorname{arccsc}x\big)'=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},\quad |x|>1.$$

推论：反双曲函数

设

$$\operatorname{arsh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right),\; \operatorname{arch}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\,(x\ge1),\; \operatorname{arth}x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}.$$

则分别有

$$\big(\operatorname{arsh}x\big)'=\frac1{\sqrt{1+x^2}},\;x\in\mathbb R; \quad \big(\operatorname{arch}x\big)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}},\;x>1; \quad \big(\operatorname{arth}x\big)'=\frac1{1-x^2},\;|x|<1.$$

备注

反三角与反双曲导数用于换元法时，必须与对应的主值分支配套；同一题中不要把 $\arccos$ 与 $\arcsin$ 的主值代换混用。