态射的分类

在集合中，单射、满射、双射由元素是否"被映到/覆盖"来刻画；范畴的对象没有元素，只能通过态射的复合来区分它们。单态射、满态射、同构正是把集合论里的单射、满射、双射翻译成不依赖元素的语言，让它们适用于群、环、拓扑空间等一切数学结构。

需先掌握范畴的定义（态射与复合），并对照映射中的单射、满射、双射概念。

定义

设 $f:A\to B$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 中的态射：

• 单态射（monomorphism）：对任意 $g_1,g_2:X\to A$，$f\circ g_1=f\circ g_2\Rightarrow g_1=g_2$（左可消）
• 满态射（epimorphism）：对任意 $h_1,h_2:B\to Y$，$h_1\circ f=h_2\circ f\Rightarrow h_1=h_2$（右可消）
• 同构（isomorphism）：存在 $g:B\to A$ 使 $g\circ f=\mathrm{id}_A$ 且 $f\circ g=\mathrm{id}_B$；此时记 $A\cong B$
• 自态射 $A\to A$ 可逆时称为自同构（automorphism）

性质

• 在 $\mathbf{Set}$ 中：单态射 = 单射，满态射 = 满射，同构 = 双射
• 同构的复合仍是同构；同构保持对象的一切范畴论性质
• 单态射且满态射不一定同构：如环范畴中 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ 是单且满，却非环同构
• 对偶：$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 中的单态射恰是 $\mathcal{C}$ 中的满态射

例子

• $\mathbf{Grp}$ 中单态射即单同态，满态射即满同态，同构即群同构
• $\mathbf{Top}$ 中同构即同胚
• 偏序范畴中 $a\le b$ 的态射是单态射当且仅当是满态射，但很少是同构

应用

单态射、满态射是核、余核、正合列（阿贝尔范畴）等概念的基础；同构给出"结构相同"的精确含义，是分类问题（如图的同构、拓扑空间的同胚分类）的核心工具。