Fredholm择一定理

Fredholm 择一定理回答经典问题：积分方程 $x-\lambda Kx=y$ 何时可解？答案是"二选一"——要么对一切 $y$ 唯一可解，要么齐次方程有非平凡解。它把线性代数中"方阵可逆或奇异"的对立推广到紧算子，是积分方程理论的核心定理。前置依赖：紧算子的谱、紧算子的对偶、可逆算子。

Fredholm 择一定理

设 $K$ 为巴拿赫空间 $X$ 上的紧算子，$\lambda\ne 0$。对 $y\in X$，方程 $x-\lambda Kx=y$ 与转置方程 $\varphi-\lambda K^*\varphi=\psi$ 满足：

1. 要么 $I-\lambda K$ 可逆：方程对一切 $y$ 有唯一解（此时齐次方程只有零解）
2. 要么 $I-\lambda K$ 不可逆：齐次方程 $x-\lambda Kx=0$ 有非平凡解，且解空间有限维；此时方程可解当且仅当 $y$ 正交于齐次转置方程的解空间

与谱理论的联系

• $\lambda\ne 0$ 不是特征值 $\Leftrightarrow$ $I-\lambda K$ 可逆（即 $\lambda^{-1}\notin\sigma_p(K)$），由紧算子的谱的非零谱点恰为特征值
• 可解性条件（Fredholm 相容条件）：$\psi(y)=0$ 对一切 $\psi\in\ker(I-\lambda K^*)$，本质是 $\operatorname{im}(I-\lambda K)$ 闭且 $=\ker(I-\lambda K^*)^\perp$

例子

$\ell^2$ 上 $K(x_n)=(\alpha_n x_n)$，$\alpha_n\to 0$。方程 $x-\lambda Kx=y$ 化为 $x_n(1-\lambda\alpha_n)=y_n$：

• 若 $1/\lambda\notin\{\alpha_n\}$，唯一解 $x_n=y_n/(1-\lambda\alpha_n)$
• 若 $1/\lambda=\alpha_{n_0}$，需 $y_{n_0}=0$，否则无解（对应齐次转置解 $\psi=e_{n_0}$）

后续

Fredholm 择一定理是积分方程数值解与特征值问题的理论依据，其指标理论（$\dim\ker=\dim\ker(I-\lambda K^*)$）由紧算子的对偶保证。