紧算子的例子

抽象的紧性定义需要具体例子支撑：大量经典积分方程中的算子恰好是紧的，这使紧算子理论直接服务于应用。以下例子也展示了判定紧性的常用手段——直接构造收敛子列、用有限秩逼近、或利用 Arzelà–Ascoli。前置依赖：紧算子的定义、有界线性算子的定义。

积分算子（Volterra 型）

$C[0,1]$ 上 $(Kf)(x)=\int_0^x f(t)\,dt$：有界集 $\{f_n\}$ 给出等度连续且有界的 $\{Kf_n\}$，由 Arzelà–Ascoli 得相对紧。更一般地，连续核 $k(x,y)$ 的 Fredholm 积分算子 $f\mapsto\int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy$ 也是紧的。

对角算子

$\ell^2$ 上 $T(x_n)=(\lambda_n x_n)$ 紧当且仅当 $\lambda_n\to 0$：

• 若 $\lambda_n\to 0$，用截断矩阵（有限秩算子）一致逼近 $T$，紧算子空间闭（见紧算子的基本性质）
• 若 $\lambda_n\not\to 0$，取单位向量 $e_{n_k}$ 使 $|\lambda_{n_k}|\ge\varepsilon$，$Te_{n_k}$ 无收敛子列（$\|Te_{n_k}-Te_{n_j}\|^2\ge 2\varepsilon^2$）

由有限秩算子构造

有限秩算子紧；若 $T$ 能写成有限秩算子列 $T_n$ 的一致极限（$\|T_n-T\|\to 0$），则 $T$ 紧。反之在可分巴拿赫空间中，紧算子都可被有限秩算子一致逼近（Schauder 逼近性质，一般情形为逼近性质猜想）。

后续

这些例子是Hilbert-Schmidt算子（$L^2$ 上的积分算子）与Fredholm择一定理（积分方程可解性）的基础。