有限秩算子

有限秩算子是紧算子最自然的来源：值域落在有限维子空间中的算子天然"退化"，其像集在无穷维空间中必定相对紧。几乎所有具体紧算子（积分算子、对角算子）都可视为有限秩算子的极限，因此有限秩类是研究紧算子的脚手架。前置依赖：紧算子的定义、有界线性算子空间、有限维空间上的线性算子。

有限秩算子

线性算子 $T:X\to Y$ 称为有限秩算子，若 $\dim T(X)<\infty$。有限秩算子必有界（值域有限维，见有限维空间上的线性算子），且必为紧算子：$T$ 把有界集映为有限维空间中的有界集，后者相对紧。

与紧算子的关系

• 有限秩算子 $\subset$ 紧算子 $\subset$ 有界算子
• 紧算子空间 $\mathcal{K}(X,Y)$ 是 $B(X,Y)$ 的闭子空间（见紧算子的基本性质），因此有限秩算子在算子范数下的闭包包含于紧算子空间
• 在可分 Hilbert 空间 $H$ 上，紧算子恰为有限秩算子的算子范数闭包：$\mathcal{K}(H)=\overline{\mathcal{F}(H)}$（用正交基投影 $P_nT$ 逼近 $T$）

例子

• 积分算子 $f\mapsto \langle f,\varphi\rangle\psi$（$\varphi,\psi$ 固定）秩为 $1$
• $\ell^2$ 上截断对角算子 $T_n(x_1,\dots,x_n,\dots)=(x_1,\dots,x_n,0,\dots)$ 有限秩，$T_n\to I$ 逐点但不在算子范数下收敛（$\|I-T_n\|=1$）

后续

有限秩逼近是证明积分算子与Hilbert-Schmidt算子紧性的核心工具；秩 $1$ 算子还构成算子代数中的原子结构。