积分方程

很多物理与工程问题（位势理论、边值问题的 Green 函数法）最终归结为含未知函数的积分方程。把积分算子视为紧算子后，第二类 Fredholm 积分方程的求解理论就完全由Fredholm择一定理与紧算子的谱刻画——这是泛函分析对经典分析最直接的回报。需先掌握紧算子的定义、紧算子的谱与压缩映射原理。

第二类 Fredholm 积分方程

$$u(x)-\lambda\int_\Omega K(x,y)u(y)\,dy=f(x)$$

其中核 $K\in L^2(\Omega\times\Omega)$ 定义紧算子 $(Ku)(x)=\int_\Omega K(x,y)u(y)\,dy$（Hilbert–Schmidt 算子）。方程写作 $(I-\lambda K)u=f$，其可解性由Fredholm择一定理决定：要么对一切 $f$ 唯一可解，要么齐次方程有非平凡解且 $f$ 须满足相容条件。

求解途径

• Neumann 级数：当 $\|\lambda K\|<1$ 时 $u=\sum_{n\ge0}(\lambda K)^n f$（压缩映射，见压缩映射原理）
• Fredholm 理论：对任意 $\lambda\ne0$，$I-\lambda K$ 是指标为零的 Fredholm 算子（$\dim\ker=\dim\ker(I-\lambda K^*)$，见紧算子的对偶），配合紧算子的谱的离散性给出完整的二择一
• 特征值与特征函数：$\lambda^{-1}\in\sigma_p(K)$ 时齐次方程有解，$K$ 的谱 $\sigma(K)$ 至多以 $0$ 为聚点（见紧算子的谱）

与其他问题联系

• Volterra 方程（积分上限为 $x$）：对应拟幂零算子，谱仅含 $0$，Neumann 级数总是收敛
• 积分-微分方程：转化为积分方程后统一处理
• Green 函数：椭圆边值问题 $-\Delta u=f$ 的解 $u(x)=\int G(x,y)f(y)\,dy$ 即核为 Green 函数的积分算子（见泊松方程）

例子

$L^2(0,1)$ 上 $K(x,y)=xy$（秩 1 算子）：$(Ku)(x)=x\int_0^1 y u(y)\,dy$，非零特征值唯一（$\lambda^{-1}=\int_0^1 y^2\,dy=\frac13$），方程 $u-\lambda Ku=f$ 在 $\lambda\ne3$ 时对一切 $f$ 唯一可解，$\lambda=3$ 时须 $\int_0^1 y f(y)\,dy=0$。

后续

积分方程理论把紧算子、谱与 Fredholm 指标连成一体，其数值解法（退化核逼近、配置法）与现代有限元方法、边界元方法一脉相承。