可逆算子

方程 $Tx=y$ 何时对一切右端有唯一解？答案是 $T$ 可逆。对巴拿赫空间之间的双射算子，逆的有界性自动成立；Neumann 级数则给出"接近恒等"算子求逆的显式公式，是摄动理论与积分方程的基本工具。

可逆算子

设 $X$ 为巴拿赫空间，$T\in B(X)$。若 $T$ 双射且 $T^{-1}\in B(X)$，则称 $T$ 可逆。若 $X,Y$ 为巴拿赫空间且 $T:X\to Y$ 是双射有界线性算子，则 $T^{-1}$ 自动有界（开映射定理，证明见主要定理章）。

Neumann 级数

若 $\|A\|<1$（$A\in B(X)$），则 $I-A$ 可逆，且

$$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n,\qquad \|(I-A)^{-1}\|\le\frac{1}{1-\|A\|}$$

级数按算子范数绝对收敛。因此若 $T$ 可逆且 $\|A\|<\|T^{-1}\|^{-1}$，则 $T+A$ 可逆：

$$(T+A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-T^{-1}A)^nT^{-1}$$

例子

• 乘法算子 $M_g$ 可逆 $\iff$ $\inf|g|>0$（此时 $M_g^{-1}=M_{1/g}$）
• 平移算子 $S$ 不可逆（不满射）；其左逆 $S^*$ 满足 $S^*S=I$
• 有限维：$T$ 可逆 $\iff$ $\det A\neq0$，见逆矩阵

应用

第二类 Fredholm 积分方程 $u-\lambda Ku=f$：当 $|\lambda|\,\|K\|<1$ 时，

$$u=(I-\lambda K)^{-1}f=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nK^nf$$

后续

谱理论围绕"$\lambda I-T$ 是否可逆"展开：使 $\lambda I-T$ 不可逆的 $\lambda$ 构成谱集 $\sigma(T)$；紧算子与自伴算子的谱分解都建立在可逆性判别之上。