紧算子的谱

紧算子的谱完全确定了它的"有限维本质"：除 $0$ 外只有离散的特征值，且每个非零特征值都是有限重的。这正是 Riesz–Schauder 理论，它把积分方程理论提升为谱语言，并直接导向Fredholm择一定理。前置依赖：紧算子的定义、可逆算子、紧自伴算子。

紧算子的谱（Riesz–Schauder）

设 $X$ 为无穷维巴拿赫空间，$T\in\mathcal{K}(X)$ 紧。则

1. $0\in\sigma(T)$（否则 $T$ 可逆，$I=T^{-1}T$ 紧，矛盾）
2. $\sigma(T)\setminus\{0\}$ 是特征值集合，至多可数，唯一可能的聚点是 $0$
3. 每个非零特征值 $\lambda$ 对应的广义特征空间 $\bigcup_k\ker(\lambda I-T)^k$ 有限维

证明要点

• 对 $\lambda\ne 0$，$N_\lambda=\ker(\lambda I-T)$ 有限维：否则 $\lambda I-T$ 限制在其上有紧恒等，矛盾
• 非零谱点必为特征值：若 $\lambda I-T$ 单且满，则其逆有界（逆算子定理，见可逆算子）与紧性矛盾
• 聚点只能是 $0$：若 $\lambda_n\to\lambda\ne 0$ 且各有特征向量 $x_n$，由 $\lambda_n$ 分离性与紧性可得矛盾

例子

• $\ell^2$ 上 $T(x_n)=(\lambda_n x_n)$，$\lambda_n\to 0$：$\sigma(T)=\{\lambda_n\}\cup\{0\}$，每个 $\lambda_n$ 为特征值，$0$ 为唯一聚点
• Volterra 算子 $(Kf)(x)=\int_0^x f(t)\,dt$：$\sigma(K)=\{0\}$（拟幂零），非零谱为空

后续

Riesz–Schauder 结构使 $\lambda I-T$ 的 Fredholm 性质成立（值域闭、指标为零），即Fredholm择一定理；在 Hilbert 空间的自伴情形细化见紧自伴算子。