欧几里得空间

中学与线性代数里的"几何空间"——长度、夹角、垂直——正是有限维实内积空间。把它作为原型抽象出来，才能看清哪些几何结论在无穷维函数空间中依然成立，哪些不再成立。

欧几里得空间

有限维实内积空间称为欧几里得空间。$\mathbb{R}^n$ 配标准内积 $\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^n x_k y_k$ 是最典型的例子，其诱导范数即通常的欧氏长度。

性质

• 长度、夹角、正交与投影都由内积给出：$\cos\theta=\dfrac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}$
• 有限维内积空间都等距同构于 $\mathbb{R}^n$（取正交基后的坐标映射）
• 欧氏空间的每个子空间都有正交补且 $H=M\oplus M^\perp$

后续

把"有限维"换成"完备"就得到希尔伯特空间——无穷维欧氏空间的直接推广；正交分解在有限维时正是投影到子空间。