向量丛

把线性空间"逐点铺"在底空间上：每点一个向量空间，局部同胚于 $U\times\mathbb{R}^n$，整体转换由线性同构完成。向量丛 是微分流形（切丛）、代数几何与 K-理论的基本对象。

需先掌握纤维丛、拓扑流形与线性代数。

定义

秩 $n$ 实向量丛 是纤维为 $\mathbb{R}^n$ 且转移函数为线性同构的纤维丛：存在局部平凡化 $\varphi_U:\pi^{-1}(U)\to U\times\mathbb{R}^n$，使 $\varphi_V\circ\varphi_U^{-1}$ 在每点上都是线性映射。复向量丛同理（纤维 $\mathbb{C}^n$）。平凡丛 $\varepsilon^n=B\times\mathbb{R}^n$；截面 是连续（光滑）$s:B\to E$（$\pi\circ s=\mathrm{id}$）。

性质

• 运算：直和 $E\oplus F$、张量积 $E\otimes F$、对偶 $E^*$、拉回 $f^*E$ 都给出新向量丛
• 截面空间 $\Gamma(E)$ 是连续（光滑）函数环上的模，是整体几何数据的主要来源
• 任何向量丛可嵌入平凡丛并有补丛：$E\oplus E^\perp\cong\varepsilon^N$（度量意义下的正交补）

示例

• 流形 $M$ 的切丛 $TM$ 与余切丛 $T^*M$（见拓扑流形）
• $S^2$ 的切丛非平凡：毛球定理——$S^2$ 上不存在处处非零的连续切向量场，故 $TS^2\ncong\varepsilon^2$
• 莫比乌斯线丛：$S^1$ 上秩 1 非平凡实线丛（处处扭转），是最简单的非平凡向量丛

应用

向量丛承载示性类（见示性类）与拓扑 K-理论（稳定等价类成群 $K^0(B)$）；微分几何的联络、曲率定义在向量丛上（见微分流形）。