弧长参数化

曲率、挠率等几何量应当只依赖曲线的"形状"而非参数化的快慢。以弧长为参数（速度恒为 1）后，一切几何量不再混入参数化的速度因子，这是Frenet标架与曲率的标准舞台。

需先掌握正则曲线与定积分（空间曲线中的弧长公式）。

定义

设 $\vec{r}:I\to\mathbb{R}^3$ 为正则曲线。取定点 $t_0\in I$，定义弧长函数

$$s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\vec{r}'(\tau)\|\,d\tau$$

$s$ 严格单调递增，可反解 $t=t(s)$。称 $\vec{r}(s)=\vec{r}(t(s))$ 为曲线的弧长参数化（自然参数化），它满足

$$\|\vec{r}'(s)\|=1$$

• 单位切向量：$T(s)=\vec{r}'(s)$
• 几何量不变性：弧长、切线方向均与初始参数化选择无关

性质

• $\|\vec{r}'(s)\|=1$ 是弧长参数的判别条件
• 弧长参数化下 $\vec{r}''(s)\perp\vec{r}'(s)$（因为 $2\vec{r}'\cdot\vec{r}''=(\|\vec{r}'\|^2)'=0$）
• 一般参数化与弧长参数化的换算：$\dfrac{d}{ds}=\dfrac{1}{\|\vec{r}'(t)\|}\dfrac{d}{dt}$

示例

• 圆 $\vec{r}(t)=(R\cos t,R\sin t)$：$s=Rt$，弧长参数化为 $\vec{r}(s)=(R\cos\frac{s}{R},\,R\sin\frac{s}{R})$
• 圆柱螺旋线 $\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$：$s=t\sqrt{a^2+b^2}$

应用

曲率定义为 $\kappa=\|\vec{r}''(s)\|$，Frenet-Serret公式以弧长参数写出；曲线论中的内蕴量都以自然参数为基础。