Frenet-Serret公式

Frenet标架沿曲线移动，其变化率完全由两个标量函数（曲率与挠率）控制。Frenet-Serret 公式把这组运动方程写成紧凑的矩阵形式，是空间曲线局部理论的"运动学方程"。

需先掌握Frenet标架（$T,N,B$）与弧长参数化。

公式

对弧长参数化曲线 $\vec{r}(s)$：

$$\begin{cases} T'=\kappa N\\[2pt] N'=-\kappa T+\tau B\\[2pt] B'=-\tau N \end{cases}$$

矩阵形式（系数矩阵反对称）：

$$\begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix}$$

推导要点

• $T'=\kappa N$：正是曲率的定义
• $B'=-\tau N$：由 $\tau=-\langle B',N\rangle$ 且 $B'\perp B$ 得到
• $N'=-\kappa T+\tau B$：由 $N=B\times T$ 求导展开得到

推论

• 平面曲线（$\tau=0$）：$N'=-\kappa T$，$B$ 恒为常向量
• 一般参数化用链式法则 $\dfrac{d}{ds}=\dfrac{1}{\|\vec{r}'(t)\|}\dfrac{d}{dt}$ 换算

应用

曲线论基本定理把 Frenet-Serret 公式视为线性常微分方程组，证明 $\kappa,\tau$ 完全决定曲线（差一个刚体运动）。