曲线论基本定理

曲率与挠率是空间曲线的"完整编码"：反过来，任给一对满足条件的函数 $\kappa(s),\tau(s)$，都能唯一（差一个刚体运动）实现为一条空间曲线。这把局部几何量的研究提升为"曲线空间"的整体问题。

需先掌握Frenet-Serret公式与常微分方程组解的存在唯一性。

定理

设 $\kappa(s)>0$ 与 $\tau(s)$ 为区间 $I$ 上的光滑函数，则存在 $I$ 上的弧长参数化空间曲线 $\vec{r}(s)$，使其以 $\kappa,\tau$ 为曲率与挠率；且任意两条这样的曲线只相差一个刚体运动（旋转与平移的复合）。

证明思路

把Frenet-Serret公式

$$T'=\kappa N,\quad N'=-\kappa T+\tau B,\quad B'=-\tau N$$

看作以 $(T,N,B)$ 为未知函数的一阶线性常微分方程组。取初值 $T(0),N(0),B(0)$ 为一组右手标准正交基：

1. 系数矩阵反对称，解 $(T,N,B)$ 始终保持正交规范（如 $(T\cdot T)'=0$）
2. 积分 $T$ 得 $\vec{r}(s)=\vec{r}_0+\int_0^s T(u)\,du$
3. 不同初值基之间的正交变换给出刚体运动

意义

• 条件 $\kappa>0$ 保证主法向量处处有定义
• 曲率与挠率不依赖参数化与坐标系，是曲线的内蕴不变量
• 推论：两条正则曲线可经刚体运动重合，当且仅当它们的 $\kappa,\tau$ 函数逐点相等

应用

计算机辅助几何设计（CAGD）用 $\kappa,\tau$ 数据重建曲线；对平面曲线情形（$\tau=0$），只需给定符号曲率即可确定形状。