Frenet标架

沿曲线每点放置一个右手正交标架 $\{T,N,B\}$（"随车坐标系"），局部几何信息全部装进标架随曲线的转动之中。这是空间曲线局部理论的显微镜，也是曲面论中活动标架法的原型。

需先掌握弧长参数化与曲率；$\kappa\ne 0$ 时标架才有定义。

定义

设 $\vec{r}(s)$ 为弧长参数化曲线且 $\kappa(s)\ne 0$：

• 单位切向量 $T(s)=\vec{r}'(s)$
• 主法向量 $N(s)=\dfrac{T'(s)}{\|T'(s)\|}=\dfrac{\vec{r}''(s)}{\kappa(s)}$
• 副法向量 $B(s)=T(s)\times N(s)$

$\{T,N,B\}$ 构成右手标准正交基，称为 Frenet 标架。

三个基本平面

• 密切平面（osculating plane）：过点由 $T,N$ 张成，曲线在此平面内弯得最"贴身"
• 法平面：由 $N,B$ 张成，过点且垂直于 $T$
• 从切平面：由 $T,B$ 张成，过点且垂直于 $N$

性质

• 正交标架：$T\cdot N=N\cdot B=B\cdot T=0$，$B=T\times N$
• 平面曲线：$B$ 为常向量（垂直于曲线所在平面）
• 螺旋线：$B$ 沿曲线匀速转动

应用

标架的运动由Frenet-Serret公式控制；曲率与挠率分别是 $T,N$ 与 $B,N$ 方向的转动速率，构成空间曲线局部理论的完整描述。