挠率

两条曲率函数相同的曲线形状仍可不同（如左旋与右旋螺旋线），说明曲率不是全部信息。挠率度量曲线偏离密切平面（$T,N$ 张成的平面）的程度，回答曲线在空间中的"扭转"。

需先掌握Frenet标架（$T,N,B$ 的定义）与曲率。

定义

设 $\vec{r}(s)$ 为弧长参数化曲线，$\kappa(s)\ne 0$，$B=T\times N$ 为副法向量。挠率

$$\tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle$$

一般参数公式

$$\tau(t)=\frac{(\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t))\cdot\vec{r}'''(t)}{\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\|^2}$$

性质

• 平面曲线处处 $\tau=0$（始终在密切平面内）
• $\tau>0$：曲线向 $B$ 方向"右旋"扭转；$\tau<0$：向左旋扭转
• 直线 $\kappa=0$ 时 $B$ 无定义，挠率不予讨论

示例

• 圆柱螺旋线 $\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$：$\tau=\dfrac{b}{a^2+b^2}$（$b>0$ 右旋，$\tau>0$）
• 平面内任意曲线：$\tau\equiv 0$

应用

$\kappa,\tau$ 共同构成曲线论基本定理的"曲线编码"；Frenet-Serret公式中 $N'=-\kappa T+\tau B$ 与 $B'=-\tau N$ 给出挠率的运动学意义。