正则曲线

一条参数曲线若在某个参数处速度为零，该点附近可能"停顿"或出现尖点，切线的几何意义被破坏。正则性要求速度处处非零，从而保证曲线每点都有确定切线，这是后续定义曲率、挠率的前提。

需先掌握参数曲线及其可微性；向量值函数导数 $\vec{r}'(t)$ 的几何意义是速度向量。

定义

设 $\vec{r}:I\to\mathbb{R}^n$ 为 $C^1$ 参数曲线。若对一切 $t\in I$ 都有

$$\vec{r}'(t)\neq\vec{0}$$

则称 $\vec{r}$ 为正则曲线（regular curve），$\vec{r}'(t)$ 称为切向量。

• 切线：过 $\vec{r}(t_0)$ 且方向为 $\vec{r}'(t_0)$ 的直线 $\vec{r}(t_0)+s\vec{r}'(t_0)$
• 正则性与参数化无关：若 $\phi'$ 处处非零，则 $\vec{r}\circ\phi$ 与 $\vec{r}$ 的正则性相同（速度向量只差非零标量因子）

示例

• 圆、螺旋线、摆线（避开尖点处）均为正则曲线
• 半三次抛物线 $\vec{r}(t)=(t^2,t^3)$：$\vec{r}'(0)=(0,0)$，原点处非正则，曲线在此有尖点（cusp）
• 直线 $\vec{r}(t)=\vec{a}+t\vec{v}$（$\vec{v}\neq\vec{0}$）恒正则

应用

正则性使弧长参数化可行（弧长函数严格单调），曲率、挠率等几何量只在正则曲线上有定义。