参数曲线

把"一条曲线"从直观图像变成可计算的对象：用参数 $t$ 把曲线上每一点写成 $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，点的运动轨迹就是曲线。这是解析几何中空间曲线参数方程的系统化表述，也是微积分中向量值函数进入几何的第一步。

需先掌握空间曲线的参数方程、向量值函数的导数与积分。

定义

设 $I\subseteq\mathbb{R}$ 为区间。连续映射 $\vec{r}:I\to\mathbb{R}^n$ 称为一条参数曲线，$\vec{r}(t)$ 称为曲线在参数 $t$ 处的点。若 $\vec{r}$ 的各分量函数 $k$ 次连续可微，则称曲线为 $C^k$ 曲线。

• 像（轨迹）：$\{\vec{r}(t):t\in I\}$ 是曲线在空间中的几何图像
• 参数：同一个像可由不同参数化表示
• 重参数化：对光滑函数 $\phi:J\to I$ 取 $\vec{r}\circ\phi$ 得到新的参数化

示例

• 直线：$\vec{r}(t)=\vec{a}+t\vec{v}$，$t\in\mathbb{R}$
• 圆：$\vec{r}(t)=(R\cos t,R\sin t)$，$t\in[0,2\pi)$
• 圆柱螺旋线：$\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$（见空间曲线）
• 摆线：$\vec{r}(t)=(t-\sin t,\,1-\cos t)$

应用

正则曲线排除"速度为零"的病态，弧长参数化给出与参数选择无关的几何量（曲率、挠率）的出发点；计算机图形学与机器人路径规划都以参数曲线描述轨迹。