渐伸线与渐屈线

把一根绷紧的线从曲线上"解开"，线端描出的曲线就是原曲线的渐伸线；反过来，曲线各点曲率中心的轨迹是渐屈线。这对互逆构造由纯曲线论工具生成新曲线，是齿轮齿廓设计的数学基础。

需先掌握弧长参数化与平面曲线；以及曲率与曲率半径 $\rho=1/\kappa$。

渐伸线（Involute）

设 $\gamma(s)$ 为弧长参数化平面曲线，$T(s)$ 为单位切向量。对常数 $c$，

$$I(s)=\gamma(s)+(c-s)\,T(s)$$

称为 $\gamma$ 的渐伸线：相当于把长度为 $|c-s|$ 的切线"解卷"出去。

• 渐伸线的切线垂直于原曲线的切线（因为 $I'(s)=(c-s)\kappa N(s)$ 沿主法向量方向）
• 原曲线的所有渐伸线在对应点处的切线互相平行（差常数 $c$）

渐屈线（Evolute）

$$\mathcal{E}(s)=\gamma(s)+\rho(s)\,N(s)$$

其中 $\rho=1/\kappa$，$N$ 为主法向量，即曲率中心的轨迹。

• 渐屈线是渐伸线的"反运算"：任一条渐伸线的渐屈线都是原曲线（不计平移）
• 渐屈线的切线方向与原曲线的法线方向一致

示例

• 圆的渐伸线是圆的渐开线（齿轮齿廓）
• 摆线的渐屈线是平移后的摆线
• 抛物线 $y=x^2$ 的渐屈线为半三次抛物线（尖点型曲线）

应用

齿轮啮合采用圆的渐开线齿廓；渐屈线在曲面论中与焦曲面（caustic）概念相通。