巴拿赫代数的例子

巴拿赫代数的抽象定义来自一批"先有后抽象"的具体对象：函数空间、算子空间与卷积空间。这些例子决定了理论的发展方向——交换情形对应函数论，非交换情形对应算子理论。前置依赖：巴拿赫代数的定义、有界线性算子的定义。

典型例子

• 算子代数 $B(X)$：$X$ 为巴拿赫空间，$B(X)$ 配算子范数与复合乘法，含单位元 $I$；$X$ 无穷维时非交换
• 连续函数代数 $C(K)$：$K$ 紧 Hausdorff 空间，配逐点乘法与上确界范数 $\lVert f\rVert_\infty=\sup_{t\in K}|f(t)|$，交换、含单位元 $1$
• 卷积代数 $L^1(\mathbb{R})$：配卷积 $(f*g)(t)=\int f(t-s)g(s)\,ds$，$\lVert f*g\rVert_1\le\lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_1$，交换但无单位元（$\delta$ 函数不在 $L^1$ 中）
• $C_0(X)$：$X$ 局部紧，趋于无穷远处为零的连续函数，配逐点乘法，无单位元当且仅当 $X$ 非紧
• 矩阵代数 $M_n(\mathbb{C})$：配算子范数，非交换

性质

• $C(K)$ 与 $M_n(\mathbb{C})$ 都是"最典型"的例子：交换的谱理论在 $C(K)$ 上完全实现，非交换理论则以 $M_n$ 为有限维模型
• $B(X)$ 是无穷维非交换情形的原型，C星代数是带对合的子类
• $L^1(\mathbb{R})$ 无单位元，需要巴拿赫代数的单位化处理；其Gelfand表示正是 Fourier 变换

后续

这些例子在谱理论中的行为各不相同：$C(K)$ 的谱是 $K$ 本身，$B(X)$ 的谱对应特征值问题，$L^1$ 的谱对应 Fourier 分析。详见谱（巴拿赫代数）与Gelfand表示。