线性算子的连续性

线性算子的连续性完全由"原点附近的行为"决定：只要在某一点连续，就在每一点连续，而且自动 Lipschitz。因此"连续"与"有界"在线性世界里是同一个概念，这大幅简化了算子分析。

等价性定理

设 $T:X\to Y$ 为赋范空间之间的线性映射，下列条件等价：

1. $T$ 是有界线性算子；
2. $T$ 在某一点 $x_0\in X$ 连续；
3. $T$ 在每一点连续；
4. $T$ 一致连续（Lipschitz）：存在 $C\ge0$ 使 $\|Tx-Ty\|\le C\|x-y\|$。

证明思路

• 有界 $\Rightarrow$ Lipschitz：$\|Tx-Ty\|=\|T(x-y)\|\le\|T\|\,\|x-y\|$
• 在 $x_0$ 连续 $\Rightarrow$ 在 $0$ 连续（平移）：$x\to0\iff x+x_0\to x_0$
• 在 $0$ 连续 $\Rightarrow$ 有界：取 $\varepsilon=1$，存在 $\delta>0$ 使 $\|x\|<\delta\Rightarrow\|Tx\|<1$，故 $\|Tx\|\le\delta^{-1}\|x\|$

例子

• 求导算子 $D:C^1[0,1]\to C[0,1]$（均取 $\|\cdot\|_\infty$）无界：$f_n(t)=t^n$ 满足 $\|f_n\|_\infty=1$ 但 $\|Df_n\|_\infty=n\to\infty$，故不连续
• 积分算子、乘法算子均连续（见有界线性算子的定义）

后续

"有界=连续"使 $B(X,Y)$ 既是代数对象又是拓扑对象；无界但闭的算子（如求导算子）在谱理论与闭图像定理中仍可研究，是无界算子理论的核心对象。