有限维空间上的线性算子

无穷维算子的一切计算直觉都来自有限维矩阵。有限维空间中每个线性算子都自动连续，特征值与矩阵表示成为理解一般算子的模板——谱理论正是它的无穷维推广。

有限维空间上的线性算子

设 $X,Y$ 为有限维赋范空间，则每个线性算子 $T:X\to Y$ 都是有界的（自动连续）：有限维空间中范数两两等价，在基下用 $\|x\|_1$ 即可估计 $\|Tx\|$。

性质

• 矩阵表示：选定基后 $T$ 对应矩阵 $A$；在欧氏范数下 $\|T\|$ 等于 $A$ 的最大奇异值 $\sqrt{\lambda_{\max}(A^*A)}$
• 谱半径：$\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(A)\}\le\|A\|$，且 $\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{1/n}$
• 若 $Ax=\lambda x$（$x\neq0$），则 $|\lambda|\le\|A\|$：特征值落在以原点为圆心、半径 $\|A\|$ 的闭圆内
• $T$ 可逆 $\iff$ $\det A\neq0$，逆算子由逆矩阵给出

例子

• 对角矩阵：$\|A\|_2=\max_i|\lambda_i|$
• 正交投影 $P^2=P=P^*$：$\|P\|=1$（$P\neq0$）；斜投影的范数可大于 $1$
• 谱半径与范数不总相等：$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 满足 $\rho(A)=0<\|A\|_2=1$

后续

有限维特征值/特征向量观念在无穷维推广为谱理论：$\lambda I-T$ 的可逆性界定谱集 $\sigma(T)$，紧算子与自伴算子在无穷维给出谱分解（见泛函分析后续章节）。