谱（巴拿赫代数）

有限维情形，"特征值"是矩阵理论的核心；无穷维巴拿赫代数上，$\lambda$ 不在谱中当且仅当 $\lambda e-a$ 可逆，谱把"特征值"推广为代数语言，与可逆算子理论直接挂钩。它是Gelfand表示与算子谱理论的基础。前置依赖：巴拿赫代数的定义、可逆算子。

谱与预解式

设 $A$ 为含单位元 $e$ 的复巴拿赫代数，$a\in A$。称

$$\sigma(a)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\ \lambda e-a\text{ 不可逆}\}$$

为 $a$ 的谱，其补集 $\rho(a)=\mathbb{C}\setminus\sigma(a)$ 为预解集。对 $\lambda\in\rho(a)$，$R(\lambda)=(\lambda e-a)^{-1}$ 称为预解式。

基本性质

• $\sigma(a)$ 是非空紧集，且 $\sigma(a)\subseteq\{\lambda:|\lambda|\le\lVert a\rVert\}$（$\lambda e-a=\lambda(e-\lambda^{-1}a)$，$|\lambda|>\lVert a\rVert$ 时 Neumann 级数收敛）
• Gelfand–Mazur 定理：$\sigma(a)\ne\varnothing$（否则预解式是处处解析的有界函数，与 Liouville 定理矛盾）
• 谱半径 $r(a)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(a)\}$ 满足 $r(a)\le\lVert a\rVert$，精确公式见谱半径公式
• 谱映射：对多项式 $p$，$\sigma(p(a))=p(\sigma(a))$；对一般全纯函数见全纯函数演算
• 谱包含关系：若 $A\subseteq B$ 为含相同单位元的子代数，则 $\sigma_B(a)\subseteq\sigma_A(a)$

例子

• $a\in M_n(\mathbb{C})$：$\sigma(a)$ 即特征值集合（见特征值）
• $f\in C(K)$：$\sigma(f)=f(K)$（值域）
• 移位算子 $S\in B(\ell^2)$，$S(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots)$：$\sigma(S)=\{z:|z|\le1\}$

后续

谱的非空性导致谱半径公式；交换代数中谱通过极大理想与特征（巴拿赫代数）刻画，$a$ 的谱恰为 $\widehat a$ 的像（Gelfand表示）。