全纯函数演算

矩阵的"多项式演算"（$p(A)$）只能处理多项式；全纯函数演算把 $f(a)$ 对谱上全纯的 $f$ 定义为围道积分，使指数函数、逆、平方根等超越函数能作用于算子和代数元素。它是谱定理与算子理论中最强大的工具之一。前置依赖：谱（巴拿赫代数）、谱半径公式。

全纯函数演算

设 $A$ 为含单位元的复巴拿赫代数，$a\in A$，$f$ 在 $\sigma(a)$ 的某邻域内全纯。取包围 $\sigma(a)$ 的简单闭曲线 $\gamma$，定义

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f(\lambda)(\lambda e-a)^{-1}\,d\lambda.$$

该积分与 $\gamma$ 的选择无关（Cauchy 定理），且 $f\mapsto f(a)$ 是代数同态。

基本性质

• 与多项式演算相容：$f(z)=\sum c_k z^k$（在包含 $\sigma(a)$ 的圆盘内收敛）时 $f(a)=\sum c_k a^k$
• 谱映射定理：$\sigma(f(a))=f(\sigma(a))$；特别地 $f(a)$ 可逆 $\iff f$ 在 $\sigma(a)$ 上无零点
• 同态性质：$(fg)(a)=f(a)g(a)$，$(f+g)(a)=f(a)+g(a)$，$(f\circ g)(a)=f(g(a))$
• 常数函数给出单位元：$1(a)=e$；$f(z)=z$ 给出 $a$ 本身

例子

• 指数：$e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac{a^k}{k!}$（由谱半径公式保证收敛，见谱半径公式）
• 逆：$f(z)=1/z$（$0\notin\sigma(a)$）给出 $a^{-1}$
• 平方根：$\sigma(a)\subseteq$ 右半平面时 $\sqrt a=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\sqrt\lambda(\lambda e-a)^{-1}d\lambda$ 满足 $(\sqrt a)^2=a$

后续

在 C星代数 中全纯演算细化为正则元演算（连续函数演算），配合 Gelfand 表示给出谱定理；对自伴算子这是量子力学与紧算子谱理论（紧自伴算子）的基础。