谱半径公式

谱半径 $r(a)=\max|\lambda|$ 的直接计算需要可逆性判断，通常很困难；Gelfand 公式把它化为幂范数的极限，使谱半径可以仅由范数估计。这是巴拿赫代数理论最优雅的公式之一，也是C星代数中范数由谱决定的根源。前置依赖：谱（巴拿赫代数）、巴拿赫代数的定义。

Gelfand 谱半径公式

设 $A$ 为含单位元的复巴拿赫代数，$a\in A$，则

$$r(a)=\lim_{n\to\infty}\lVert a^n\rVert^{1/n}=\inf_{n\ge1}\lVert a^n\rVert^{1/n}.$$

证明要点

• 下界：$|\lambda|>r(a)$ 时 $\lambda e-a$ 可逆；由谱的非空性可证 $\limsup\lVert a^n\rVert^{1/n}\le r(a)$
• 上界：由次可乘性 $\lVert a^{m+n}\rVert\le\lVert a^m\rVert\lVert a^n\rVert$（次可加性）与 Fekete 引理，$\lim\lVert a^n\rVert^{1/n}$ 存在且等于 $\inf$
• 用预解式的 Laurent 展开 $\frac{1}{\lambda e-a}=\sum\frac{a^n}{\lambda^{n+1}}$（$|\lambda|>r(a)$ 收敛）与 Cauchy–Hadamard 半径公式衔接

推论

• $r(a)\le\lVert a\rVert$，且 $r(a^n)=r(a)^n$
• 若 $\lVert a^n\rVert$ 有界（幂有界），则 $r(a)\le1$
• $C^*$ 代数中：$a$ 正规时 $r(a)=\lVert a\rVert$（这是 $C^*$ 范数的特征性质，见C星代数）
• 拟幂零元：$r(a)=0$（如 Volterra 积分算子，见紧算子的谱）

后续

Gelfand 公式说明谱由范数决定，反过来在Gelfand表示中 $\lVert\widehat a\rVert_\infty=r(a)$，使谱理论获得函数论表达；它在算子的幂级数演算（全纯函数演算）中控制收敛半径。