自伴算子的谱

谱刻画"方程 $(\lambda I-A)x=y$ 何时可解"。对自伴算子，谱不仅恒为实数，还能按解的性质细分为点谱、连续谱与剩余谱——这是基本性质的直接推论，也是量子力学中能级（点谱）与散射态（连续谱）的数学来源。前置依赖：自伴算子的定义、谱（巴拿赫代数）。

自伴算子谱的基本事实

设 $A$ 为希尔伯特空间上的有界自伴算子：

• $\sigma(A)\subseteq[\inf_{\lVert x\rVert=1}\langle Ax,x\rangle,\ \sup_{\lVert x\rVert=1}\langle Ax,x\rangle]\subseteq\mathbb{R}$
• $r(A)=\lVert A\rVert$，故 $\sigma(A)$ 非空有界
• $\lambda\notin\sigma(A)$ 当且仅当 $\lambda I-A$ 下有界可逆（下界估计，见自伴算子的基本性质）

谱的分类

• 点谱（特征值）：$\sigma_p(A)=\{\lambda:\ker(\lambda I-A)\neq\{0\}\}$，不同特征值的特征向量正交
• 连续谱：$\lambda$ 非特征值但 $\lambda I-A$ 值域不闭（或逆无界），此时存在近似特征向量 $\lVert x_n\rVert=1$ 使 $\lVert(\lambda I-A)x_n\rVert\to 0$
• 剩余谱：自伴算子恒有 $\sigma_r(A)=\varnothing$（值域稠密）

例

• 乘法算子 $M_\phi$：$\sigma(M_\phi)=\operatorname{ess\,ran}\phi$（$\phi$ 的本质值域）
• 对角算子 $(\lambda_n x_n)$：$\sigma=\overline{\{\lambda_n\}}$；互异 $\lambda_n$ 为点谱，聚点为连续谱
• 投影算子 $P_M$：$\sigma=\{0,1\}$（$0$ 或 $1$ 缺失时对应 $\ker$ 或 $\operatorname{Im}$ 为零空间）

后续

谱的精细结构由谱测度积分实现；紧自伴算子的离散谱见紧算子的谱；无界自伴算子（如微分算子）的谱理论是 Sturm–Liouville 问题的抽象。