自伴算子的例子

自伴算子出现在所有带"对称性"的线性问题中：矩阵、微分方程、概率与物理。认识基本例子（乘法、对角、投影、积分算子）是把握抽象定义的第一步。前置依赖：自伴算子的定义、L2空间。

乘法算子

$L^2(\mu)$ 上由可测函数 $\phi$ 诱导的乘法算子 $(M_\phi f)(x)=\phi(x)f(x)$ 满足 $M_\phi^*=M_{\overline{\phi}}$，故 $M_\phi$ 自伴当且仅当 $\phi$ 实值（几乎处处）。

对角算子

$\ell^2$ 上 $(Tx)_n=\lambda_n x_n$ 自伴当且仅当 $\lambda_n\in\mathbb{R}$；有界性要求 $(\lambda_n)$ 有界，紧性要求 $\lambda_n\to 0$（见紧自伴算子）。

正交投影算子

闭子空间上的正交投影 $P$ 满足 $P^2=P=P^*$，是最简单的自伴幂等算子，见正交投影算子。

积分算子

$L^2[a,b]$ 上 $(Kf)(x)=\int_a^b k(x,y)f(y)\,dy$ 自伴当且仅当核满足 $k(x,y)=\overline{k(y,x)}$（Hermite 核）；连续对称核给出紧算子，见紧算子的例子。

矩阵

有限维情形即 Hermite 矩阵 $A=\overline{A^T}$，其特征值全为实数且可正交对角化。

后续

这些例子对应自伴算子的谱的不同形态：乘法算子的谱为 $\phi$ 的本质值域，对角算子的谱为 $(\lambda_n)$ 的闭包，投影算子的谱为 $\{0,1\}$。