度量空间

度量空间把"距离"公理化，是拓扑空间最直观的来源：实数与 $\mathbb{R}^n$ 上的收敛、连续、开集概念都建立在距离之上。

需先掌握实数与绝对值、序列收敛，以及集合与映射的语言。

定义

集合 $X$ 上的度量是函数 $d:X\times X\to\mathbb{R}$，满足：

1. $d(x,y)\ge 0$，且 $d(x,y)=0\iff x=y$
2. $d(x,y)=d(y,x)$（对称性）
3. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$（三角不等式）

$(X,d)$ 称为度量空间。以 $x$ 为中心、半径 $r>0$ 的开球为

$$B(x,r)=\{y\in X:\,d(x,y)<r\}$$

度量拓扑

称 $U\subseteq X$ 为开集，若对每个 $x\in U$ 存在 $r>0$ 使 $B(x,r)\subseteq U$。全体开集满足拓扑三条公理，构成度量拓扑，故度量空间自动是拓扑空间。

• 收敛：$x_n\to x\iff d(x_n,x)\to 0$
• 豪斯多夫性：不同两点有不相交的开球，故度量空间是 分离公理 中的 Hausdorff 空间
• 等价度量：$d_1,d_2$ 等价当且仅当它们生成相同的拓扑；例如 $d$ 与 $d'=\min\{d,1\}$ 等价（后者有界）

完备性与紧致性

• 柯西列：$\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，$\forall m,n>N$：$d(x_m,x_n)<\varepsilon$
• 完备度量空间：每个柯西列都收敛
• 度量空间中紧致 $\iff$ 序列紧致（每列有收敛子列）$\iff$ 完备且全有界（见紧致性）

示例

• $\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{R}^n$：$d(x,y)=|x-y|$、$d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$
• 离散度量：$d(x,y)=0$（若 $x=y$），否则为 $1$；生成的拓扑是离散拓扑
• 范数空间：范数 $\lVert\cdot\rVert$ 定义度量 $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$，如 $L^p$ 空间

应用

实分析与泛函分析中的函数空间（完备度量空间上的不动点定理、Banach 空间理论）都依赖度量；度量化与嵌入 回答抽象拓扑空间何时来自度量。