高斯映射

把曲面上每一点的法向量平移放到单位球 $S^2$ 的球心，就得到高斯映射 $N:S\to S^2$。它的微分 $dN$ 记录法向量沿切方向的转动速率，由此定义形状算子，直接编码曲率。

需先掌握切平面与法向量与法曲率与主曲率。

定义

设 $S$ 为定向正则曲面，映射 $p\mapsto N(p)\in S^2$ 称为高斯映射。其微分

$$dN_p:T_pS\to T_{N(p)}S^2$$

（把二者都视为 $\mathbb{R}^3$ 的线性子空间后相重合）称为形状算子（Weingarten 映射）；部分教材记 $S_p=-dN_p$，符号约定因书而异。

关系式

在坐标卡下，形状算子的矩阵为 Weingarten 矩阵 $W=I^{-1}\cdot II$：

• $W$ 的特征值即主曲率 $\kappa_1,\kappa_2$
• $K=\det W=\det(dN_p)$，$2H=\operatorname{tr}W=-\operatorname{tr}(dN_p)$
• 主方向对应 $W$ 的特征方向

性质

• $K$ 的符号决定 $dN$ 保向（$K>0$）或反向（$K<0$）；$K=0$ 处 $dN$ 退化（存在主曲率为 0 的方向）
• 平面：$N$ 恒定，$dN=0$，$K=H=0$
• 半径 $R$ 球面（内法向）：$N=-p/R$，$dN=-\tfrac1R\,\mathrm{Id}$，$\kappa_1=\kappa_2=1/R$
• 对紧致定向曲面，高斯映射的度 $\deg N=\tfrac12\chi(S)$（$\chi$ 为 Euler 示性数）：球面 $\deg=1$、环面 $\deg=0$

应用

形状算子的特征方向即主方向；Gauss-Bonnet 定理可看作高斯映射的度（拓扑量）与 $K$ 的面积分之间的等式。