实积分的留数计算法

利用留数定理计算实定积分的方法。核心思想：将实积分转化为复平面上的围道积分。

基本方法

设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内除有限个奇点 $a_1, \dots, a_n$ 外解析，$C$ 为 $D$ 内包围这些奇点的正向闭曲线，则

$$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f, a_k)$$

计算实积分时，选取合适的围道（实轴段 + 大圆弧/上半平面），令圆弧半径趋于无穷，利用留数定理求解。

常见类型

1. 有理函数的无穷积分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im} a_k > 0} \operatorname{Res}\left(\frac{P}{Q}, a_k\right)$$

条件：$\deg Q - \deg P \ge 2$，$Q$ 无实零点。

2. 含三角函数的积分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iax} P(x)}{Q(x)} \, dx$$

取上半平面围道，利用 Jordan 引理使圆弧上的积分趋于零。

3. 含对数或根式的积分

选取割线围道，处理多值函数的分支。

关键定理

• Jordan 引理：若 $f(z) \to 0$ 且在 $z=Re^{i\theta}$ ($0 \le \theta \le \pi$) 上一致，则 $\lim_{R\to\infty}\int_{C_R} e^{iaz} f(z) dz = 0$（$a>0$）
• 留数计算：
  • 一阶极点：$\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a} (z-a) f(z)$
  • $m$ 阶极点：$\operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-a)^m f(z) \right]$

具体内容见 留数定理 与 留数。