留数定理用于计算闭合路径上的复积分。这一定理尤其适用于函数在其积分路径内有奇点的情况。

定义

如果复函数 $f(z)$ 在某闭合路径 $\gamma$ 内部的所有点上都解析，除了有限个奇点 $z_1, z_2, ..., z_n$，那么沿这个闭合路径 $\gamma$ 的积分可以通过以下公式计算：

$$\int_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)$$

其中 $\text{Res}(f, z_k)$ 是函数 $f(z)$ 在点 $z_k$ 处的留数。

留数的计算

留数是函数在其奇点处的行为的量化表示。计算留数的方法依赖于奇点的类型：

• 简单极点：如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的一个简单极点，那么在 $z_0$ 处的留数可以通过下列极限来计算：

$$\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)$$

• 高阶极点：对于高阶极点，留数的计算更为复杂，通常需要通过洛朗级数或其他方法来确定。

应用

留数定理的一个常见应用是计算复平面上的积分，特别是当积分路径围绕一个或多个奇点时。此外，留数定理也可以应用于计算实数积分，特别是那些难以用传统方法求解的积分。

示例

假设有函数 $f(z) = \frac{z+1}{z^2 + 4}$，我们需要计算围绕路径 $|z| = 2$ 的积分。 首先，我们需要确定函数 $f(z) = \frac{z+1}{z^2 + 4}$ 的奇点。将分母设为零：

$$z^2 + 4 = 0 \Rightarrow z^2 = -4 \Rightarrow z = \pm 2i$$

这表明有两个奇点：$z = 2i$ 和 $z = -2i$。由于我们的路径是 $|z| = 2$，这意味着这两个奇点恰好在积分路径上。当奇点位于路径上时，使用留数定理需要更多的注意 — 通常情况下，我们假设奇点完全在路径内部或外部，因此这种特殊情况需要小心处理。为了简化问题，我们可以稍微调整路径来确保所有奇点都在路径内部。假设我们将路径调整为 $|z| = 3$。

计算留数

现在我们的路径包含两个奇点 $2i$ 和 $-2i$。每个点都是简单极点。对于每个极点，留数可以通过以下公式计算：

$$\text{Res}(f, z_k) = \lim_{z \to z_k} (z - z_k)f(z)$$

• 对于 $z = 2i$：

$$\text{Res}\left(\frac{z+1}{z^2 + 4}, 2i\right) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \frac{z + 1}{z^2 + 4} = \lim_{z \to 2i} \frac{z + 1}{z + 2i}$$

由于 $z^2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i)$，在 $z = 2i$ 时，有：

$$\text{Res}(f, 2i) = \frac{2i + 1}{4i} = \frac{2i + 1}{4i}$$

进一步计算得：

$$\text{Res}(f, 2i) = \frac{2i + 1}{4i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}i$$

• 对于 $z = -2i$：

$$\text{Res}\left(\frac{z+1}{z^2 + 4}, -2i\right) = \lim_{z \to -2i} (z + 2i) \frac{z + 1}{z^2 + 4} = \lim_{z \to -2i} \frac{z + 1}{z - 2i}$$

$$\text{Res}(f, -2i) = \frac{-2i + 1}{-4i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}i$$

应用留数定理

$$\begin{align} \int_{|z|=3} \frac{z+1}{z^2 + 4} \, dz &= 2\pi i \left(\text{Res}(f, 2i) + \text{Res}(f, -2i)\right) \\ &= 2\pi i \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}i + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}i\right) \\ &= 2\pi i \end{align}$$