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在处理极点为 iz3−1=0iz^3 - 1 = 0 的情形时，我们需要首先找出 zz 的具体值，这些值即为极点所在的位置。

1. 求解极点的位置

给定 iz3−1=0iz^3 - 1 = 0，我们可以解出 zz 的具体值：

iz3=1 iz^3 = 1

z3=−i z^3 = -i

现在，我们需要找出 z3=−iz^3 = -i 的解。

2. 通过极坐标表示求解

我们可以将 −i-i 表示为复数的极坐标形式：

−i=e−iπ2 -i = e^{-i\frac{\pi}{2}}

于是，方程变为：

z3=e−iπ2 z^3 = e^{-i\frac{\pi}{2}}

为了解出 zz，我们可以将指数方程的解写为：

z=e−iπ6 or z=e−iπ6+i2πk3,k=0,1,2 z = e^{-i\frac{\pi}{6}} \text{ or } z = e^{-i\frac{\pi}{6} + i\frac{2\pi k}{3}}, \quad k = 0, 1, 2

这意味着 zz 有三个不同的解，它们分别为：

z1=e−iπ6=cos⁡(−π6)+isin⁡(−π6) z_1 = e^{-i\frac{\pi}{6}} = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)

z2=e−iπ6+i2π3=ei(π2)=i z_2 = e^{-i\frac{\pi}{6} + i\frac{2\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{2})} = i

z3=e−iπ6+i4π3=ei(5π6)=−cos⁡(5π6)+isin⁡(5π6) z_3 = e^{-i\frac{\pi}{6} + i\frac{4\pi}{3}} = e^{i(\frac{5\pi}{6})} = -\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)

这些 z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 就是方程 iz3−1=0iz^3 - 1 = 0 的解，它们也是复平面上的极点。

3. 使用留数定理

如果你在计算包含这些极点的围道积分，使用留数定理时，需要分别计算每个极点的留数，然后将它们相加。留数的计算涉及函数在每个极点处的行为，特别是极点的阶数。

假设你要计算围绕路径 CC 的积分：

∮Cf(z) dz \oint_C f(z) \, dz

其中 f(z)f(z) 在 z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 处具有极点。根据留数定理，积分可以表示为：

∮Cf(z) dz=2πi(Res(f,z1)+Res(f,z2)+Res(f,z3)) \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \left( \text{Res}(f, z_1) + \text{Res}(f, z_2) + \text{Res}(f, z_3) \right)

其中，Res(f,zi)\text{Res}(f, z_i) 表示 f(z)f(z) 在 ziz_i 处的留数。

4. 留数的计算

对于每一个极点 ziz_i，你可以使用留数的标准计算方法（如洛朗级数展开或极点类型的判断）来求出对应的留数。这些留数之和乘以 2πi2\pi i 就是你所求的积分。

总的来说，极点 iz3−1=0iz^3 - 1 = 0 的解导致了复平面上有三个极点，这些极点需要单独处理，然后应用留数定理来计算积分。