柯西积分公式

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柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的全纯函数在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。

定义​

假设 $f(z)$ 是定义在单连通区域 $D$ 上的解析函数，并且曲线 $C$ 是 $D$ 内的一条简单闭合正向曲线（逆时针方向，右手螺旋确定）。如果 $z_0$ 是 $C$ 内的点，则柯西积分公式如下：

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \, dz$$

当$n=0$时显然也成立:

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} \, dz$$

示例

设 $f(z) = z^2 + 2z + 1$，曲线 $C$ 是以原点为圆心、半径为 2 的圆。要求 $f(0)$ 的值：

$$f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz$$

关系

与柯西积分定理的关系

柯西积分公式的推导依赖柯西积分定理，如果 $f(z)$ 在 $D$ 内解析且 $C$ 是闭合曲线，则：

$$\oint_C f(z) \, dz = 0$$

与留数定理的关系

留数定理是柯西积分公式的推广，用于计算具有孤立奇点的函数在闭曲线上的积分：

$$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$$

柯西积分公式是留数定理的一个特例，当奇点 $z_k = z_0$ 时，积分公式中的 $f(z)$ 可以用其留数表示。

性质

柯西积分公式表明，全纯函数的 $n$ 阶导数可以通过围绕点 $z_0$​ 的路径积分计算。
这一结果源自全纯函数的解析性，而柯西-黎曼方程提供了全纯的必要条件。
解析性意味着全纯函数在一个区域内的值由任意小邻域的信息完全决定，建立了局部与全局的紧密联系。
路径独立性是解析性的直接结果，而解析延拓体现了全纯函数的全局一致性。
这种“微分等同于积分”的特性在实分析中因缺乏解析性和路径独立性而无法实现。