要将任意复数 $z = x + iy$ 转换为极坐标形式 $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ 或 $z = re^{i\theta}$, 需要进行以下步骤:

1. 计算模 $r$

复数的模 $r$ 表示复数在复平面上与原点之间的距离, 计算公式为:

$$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

其中 $x$ 是实部, $y$ 是虚部.

2. 计算辐角 $\theta$

辐角 $\theta$ 是复数相对于实轴的角度, 通常用弧度表示, 计算公式为:

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

然而, 为了准确地确定 $\theta$ 的值, 特别是在复数位于不同象限时, 使用反正切函数时需要特别小心. 具体来说:

• 当 $x > 0$ 且 $y \geq 0$ 时, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$
• 当 $x < 0$ 时, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi$
• 当 $x > 0$ 且 $y < 0$ 时, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ (结果为负角度)
• 当 $x = 0$ 且 $y > 0$ 时, $\theta = \frac{\pi}{2}$
• 当 $x = 0$ 且 $y < 0$ 时, $\theta = -\frac{\pi}{2}$注意: 在很多编程语言中, 会有专门的函数 atan2(y, x), 它可以直接处理这些情况并返回正确的辐角.

3. 写出极坐标形式

现在, 你可以将复数 $z = x + iy$ 表示为极坐标形式 $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ 或者 $z = re^{i\theta}$, 其中:

$$z = r\left(\cos \theta + i\sin \theta\right) = re^{i\theta}$$

示例

例如, 假设 $z = 1 + i\sqrt{3}$:

1. 计算模:

   $$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

2. 计算辐角:

   $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$$

3. 极坐标形式:

   $$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$$

通过这些步骤, 你可以将任意复数转换为其极坐标形式.