定义

对于复数 $z$，满足 $e^w = z$ 的所有 $w$ 称为 $z$ 的对数，记作 $\operatorname{Ln} z = w$。 可以验证，复对数函数的表达式为：

$$\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \ln |z| + i (\arg z + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

其中，$\ln |z|$ 是 $z$ 的模的自然对数，$\operatorname{Arg} z$ 是 $z$ 的辐角，取值为 $\arg z + 2k\pi$，$k$ 为整数。 因此，复对数函数是一个多值函数，不同的值之间相差 $2k\pi i$。当 $k$ 取特定值时，记相应的复对数值为 $(\ln z)_k$；特别地，当 $\arg z$ 取主值（$(-\pi, \pi]$）时，记作 $\ln z$，称为 $z$ 的复对数主值。 这种定义方式与实数的自然对数性质 $\operatorname{Ln}(z_1 z_2) = \operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2$ 是兼容的，其导数为：

$$\frac{d}{dz} (\ln z)_k = \frac{1}{z}$$

在复对数的范畴中，实数的复对数不再唯一。例如：

$$\operatorname{Ln} 1 = \ln |1| + i (\arg 1 + 2k\pi) = 2k\pi i$$

负数也存在复对数（但不再是实数），例如：

$$\operatorname{Ln} (-1) = \ln |-1| + i (\arg(-1) + 2k\pi) = (2k+1)\pi i$$

几何形态

通过研究复指数系函数，可以直观地理解复对数函数。以下是复对数主值的情形：

• 保持虚部不变，改变实部，得到如下图形： ![[copyImage.webp]]
• 保持实部不变，改变虚部，得到如下图形： ![[copyImage 1.webp]] 实际上，复对数主值将原来的直角坐标平面（除去原点和无穷远点）变成了一个带形域 $(-\pi, \pi]$： ![[copyImage 2.webp]] 由于自变量的辐角决定了因变量的虚部，且同一自变量的不同复对数值之间只相差 $2k\pi i$，这在 $w$ 平面上表现为将主值向上下平移 $|2k\pi|$ 个单位。因此，主值表示的带形域可以向上下平移，密铺整个平面。注意，这时包含了 $\operatorname{Ln}(-x), x \in \mathbb{R}^+$ 的因变量曲线 $z = (2k+1)\pi i$ 的情形。 将带形域延拓到整个平面后，绿色和蓝色这两族曲线是正交的。实际上，可以验证它们是等价的，其中一族经过适当平移可以得到另一族，且平移的竖直方向位移是 $\frac{(2k+1)\pi}{2}$。

割破平面

由于复对数函数是典型的由辐角函数造成的多值函数，因此可以仿照辐角函数的研究方法，将复平面按照复对数函数的某些点割开，得到若干个单值解析分支。了解复对数的几何形态后，这一过程会更容易理解。 我们知道，复对数函数有且仅有支点 $z = 0, \infty$，连接这两点的任意一条闭曲线都可以作为支割线。简便起见，我们取负实轴为支割线，记割破后的平面为 $G$。这样，复对数函数就将原来的平面 $G$ 变为了若干个带形区域 $B_k = \{z : (2k-1) < \operatorname{Im} z < (2k+1)\pi, k \in \mathbb{Z}\}$，从而分出了许多单值解析分支，且主值支为 $k = 0$ 的带形区域。

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》，高等教育出版社，北京，2021-03，ISBN 978-7-0405-5587-5。