一维正变换

$$F(\omega)=\int _{-\infty}^{\infty} f(t)\cdot e^{ -i\omega t } dt$$

$$F(f)=\int _{-\infty}^{\infty} f(t)\cdot e^{ -2\pi ift } dt$$

其中

$$\omega =2\pi f$$

意义

傅里叶变换实际上在用不同的正交的成分重新构建整个信号, 构建信号的成分组成了频域, 频域上的每个点都是对整个时域某个模式的浓缩, 从时域到频域其实就是在希尔伯特空间做了一次坐标变换

模式/成分

$e^{i\omega t}$ , 用欧拉公式展开, 即为正余弦的组合

特征值

$F(\omega)=\mid F(\omega)\mid \cdot e^{ i\phi }$ (辐长与辐角的组合)

所有模式和特征值的线性组合正好就是傅里叶逆变换:

一维傅里叶逆变换

$$f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{ i\omega t }d\omega$$

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ChatGPT

傅里叶变换是一种信号处理中常用的数学工具，它将一个函数（时间域）转换成另一种表示方式（频率域）。傅里叶变换可以将一个连续信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加，从而描述信号在不同频率上的成分。 傅里叶变换的数学表示为：$F(ω) = ∫f(t)e^{-iωt}dt$，其中F(ω)表示函数f(t)在频率ω处的成分。傅里叶变换可以用于信号滤波、频谱分析、图像处理等领域。 傅里叶变换有几个常见的变种：

1. [[离散傅里叶变换]]（Discrete Fourier Transform, DFT）：适用于离散时间和离散频率的信号处理，如数字音频和图像处理。
2. [[快速傅里叶变换]]（Fast Fourier Transform, FFT）：是DFT的一种高效算法，能够显著降低计算复杂度，广泛应用于实时信号处理和频谱分析领域。
3. 带通滤波器：通过限制输入信号在某个特定频率范围内的能量来实现滤波效果。常见的带通滤波器有高通滤波器和低通滤波器。
4. [[短时傅里叶变换]]（Short-time Fourier Transform, [[STFT]]）：用于分析非平稳信号，将信号分成短时间窗口，并对每个时间窗口进行傅里叶变换。 这些变种傅里叶变换在信号处理领域都有广泛的应用，可以帮助人们理解和处理各种类型的信号。